已知f=3ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．求a，b的值；讨论g=f+2x的单调性．

题文

已知f（x）=3ax²+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．
（1）求a，b的值；
（2）讨论g（x）=f（x）+2x的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）=3ax²+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．
所以a-1+2a=0解得a=13，
此时函数f（x）=x²+bx．
因为f（x）=x²+bx是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即f（-x）=x²-bx=x²+bx，所以-b=b，解得b=0．
（2）f（x）=x²，函数的定义域为[-23，23]且x≠0．所以g（x）=f（x）+2x=x2+2x，
所以g′(x)=2x-2x2=2(x3-1)x2，由g′(x)=2(x3-1)x2＞0，解得x＞1，此时无解．
由g′(x)=2(x3-1)x2＜0，解得x＜1，所以此时x∈[-23，0)∪(0.23]，所以函数在[-23，0)和（0，23]上都为减函数．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=3ax2+bx是定义在[a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。