定义在R上的单调函数f满足对任意x，y均有f=f+f，且f=1．求f的值，并判断f的奇偶性；解关于x的

题文

定义在R上的单调函数f（x）满足对任意x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．
（1）求f（0）的值，并判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x-x²+2）+f（2x）+2＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，则题意可得f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0（3分）
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）∵f（0）=0，故对任意x∈R有f（-x）=-f（x）成立．
∴函数f（x）为奇函数．（6分）
（2）由函数f（x）是定义在R上的单调函数且f（0）=0，f（1）=1，
可知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
∴原不等式等价于f（3x-x²+2）＜-2．（8分）
∵f（1）=1，f（2）=f（1）+f（1）=2．
又∵函数为奇函数∴f（-2）=-2．
∴f（3x-x²+2）＜f（-2）．（10分）
∴3x-x²+2＜-2．
即x²-3x-4＞0
∴原不等式的解集为{x|x＞4或x＜-1}（12分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的单调函数f（x）满足对任意x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。