函数f的定义域为R，并满足条件：①对任意x∈R，有f＞0；②对任意x，y∈R，有f=[f]y；③f(13)＞1．求f的值

题文

函数f（x）的定义域为R，并满足条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0；
②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]^y；
③f(13)＞1．
（1）求f（0）的值；   
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=0，y=2，则f（0）=[f（0）]²
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
设x1=13P1，x2=13P2，则P₁＜P₂
∴f(x1)-f(x2)=f(13P1)-f(13P2)=[f(13)]P1-[f(13)]P2
∵f(13)＞1，P1＜P2，∴[f(13)]P1＜[f(13)]P2
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是单调递增函数．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域为R，并满足条件：①.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。