题文
已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m2-7m．（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（2）命题等价于任意x1∈（-∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），fmin（x1）＞gmax( x2)成立．
又函数f（x）=|x-m|=x-m ， x≥mm-x ， x＜m，故fmin（x1）=0 ， m≤4f(4) =m-4， m＞4．
又函数g（x）=x|x-m|+m2-7m=x(m-x)+m 2-7m ，x＜mx(x-m)+m 2-7m ， x≥m，
故gmax( x2)=g(3) =m2-10m+9 ， m＜3g(m) = m2-7m ， m≥3．
当m＜3时，有0＞m2-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m＜4，有0＞m2-7m，解得 3≤m＜4．
当4≤m，有m-4＞m2-7m，解得 4≤m＜4+23．
综上可得，1＜m＜4+23，故实数m的取值范围为（1，4+23 ）．
解析
x-m ， x≥mm-x ， x＜m考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
