设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12，1)，a＞0)若函数f在其定义域内是减函数，求a的取值范围；函数f是否有最小值？

题文

设函数f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-12，1)，a＞0)
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数的导数f'（x）=2x-2a2x+1=2(2x2+x-a)2x+1
∵函数f（x）在其定义域内是减函数
∴f'（x）≤0在x∈(-12，1)上恒成立
又∵x∈(-12，1)时，2x+1＞0
∴不等式2x²+x-a≤0在x∈(-12，1)上恒成立，即a≥2x²+x在x∈(-12，1)上恒成立
令g（x）=2x²+x，x∈(-12，1)，则g（x）_max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f'（x）=2(2x2+x-a)2x+1，令f'（x）=0
解得x1=-1-1+8a4，x2=-1+1+8a4
由于a＞0，-12-x1=1+8a-14＞0，x2-(-12) =1+8a+14＞0
∴x1＜-12＜x2，
①当x2=-1+1+8a4＜1即0＜a＜3时，在(-12，x2)上f′（x）＜0；在（x₂，1）上f′（x）＞0，
∴当x=-1+1+8a4时，函数f（x）在(-12，1)上取最小值．
②当x2=-1+1+8a4即a≥3时，在[-12，1]上f′（x）≤0，
∴当x=1时，函数f（x）在[-12，1]上取最小值．
由①②可知，当0＜a＜3时，函数f（x）在x=-1+1+8a4时取最小值；
当a≥3时，函数f（x）在x=1时取最小值．（12分）

解析

2a2x+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x2-aln(2x+1).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。