设a＞0，函数f=x2+a|lnx-1|．当a=2时，求函数f的单调增区间；若x∈[1，+∞）时，不等式f≥a恒成立，实数a的取值

题文

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|
=x2-2lnx+2  (0＜x≤e)x2+2lnx-2  (x＞e)（2分）
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-2x=2x2-2x，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+2x＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+ax（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-ax=2x(x+a2)(x-a2)（1≤x＜e）
当a2≥e，即a≥2e²时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
ymin=1+a，0＜a≤23a2-a2lna2e2，a≥2e2，2＜a＜2e2．
由条件得1+a≥a0＜a≤2此时0＜a≤2；
或3a2-a2lna2≥a2＜a＜2e2，
此时2＜a≤2e；或e2≥aa≥2e2，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）

解析

x2-2lnx+2  (0＜x≤e)x2+2lnx-2  (x＞e)

考点

据考高分专家说，试题“设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。