已知函数f=2x+1+a2x-1当a=-1时，判断f在R上是增函数还是减函数，并说明理由；判断f奇偶性．

题文

已知函数f（x）=2 ^x+1+a2x-1（a∈R，且a≠0）
（1）当a=-1时，判断f（x）在R上是增函数还是减函数，并说明理由；
（2）判断f（x）奇偶性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=-1时，f（x）在R上是增函数，理由如下
∵函数f（x）=2 ^x+1+a2x-1（a∈R，且a≠0）
∴当a=-1时，f（x）=2 ^x+1-12x-1=2 ^x+1-（12）^x-1，
∵函数y=2^x+1为增函数，y=（12）^x-1为减函数
由函数单调性的性质“增函数”-“减函数”=“增函数”
故f（x）=2 ^x+1-（12）^x-1为增函数
（2）∵函数f（x）=2^x+1+a2x-1（a∈R，且a≠0）
∴函数的定义为R
而f（-x）=2^-x+1+a2-x-1=2^-x+1+a（2^x+1）
当a=1时，f（x）=f（-x），此时函数为偶函数
当a=-1时，-f（x）=f（-x），此时函数为奇函数
当a≠±1时，函数为非奇非偶函数

解析

a2x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1+a2x-1（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。