题文
已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+64n]内，总存在m+1个数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当t=2时，f(x)=x+2x，f′(x)=1-2x2=x2-2x2＞0解得x＞2，或x＜-2．∴函数f（x）有单调递增区间为(-∞，2)，(2，+∞)
（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵f′(x)=1-tx2，∴切线PM的方程为：y-(x1+tx1)=(1-tx21)(x-x1)．
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+tx1)=(1-tx21)(1-x1)．
即x12+2tx1-t=0．（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，
∴x1+x2=-2tx1•x2=-t. (*)
|MN|=(x1-x2)2+(x1+tx1-x2-tx2)2=(x1-x2)2[1+(1-tx1x2)2][(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-tx1x2)2]
把（*）式代入，得|MN|=20t2+20t，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=20t2+20t（t＞0）
（3）易知g（t）在区间[2，n+64n]上为增函数，
∴g（2）≤g（ai）（i=1，2，，m+1）．
则m•g（2）≤g（a1）+g（a2）++g（am）．
∵g（a1）+g（a2）++g（am）＜g（am+1）对一切正整数n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（n+64n）对一切的正整数n恒成立m20×22+20×2＜20(n+64n)2+20(n+64n)，
即m＜16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立
∵n+64n≥16，
∴16[(n+64n)2+(n+64n)]≥16[162+16]=1363．
∴m＜1363.
由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．
解析
2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
