已知函数f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1．若对于任意的x∈R，f＞0恒成立，求实数k的取值范围；若f的最小值为-2，求实数k的

题文

已知函数f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为4^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因为-2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，当且仅当2^x=2^-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2）f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1=1+k-12x+12x+1，
令t=2x+12x+1≥3，则y=1+k-1t(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，k+23]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[k+23，1)，最小值为k+23=-2⇒k=-8，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x1)+f(x2)≤2k+43且1＜f(x3)≤k+23，
故k+23≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，2k+43≤f(x1)+f(x2)＜2且k+23≤f(x3)＜1，故1≤2k+43，解得-12≤k＜1；
综上所述，-12≤k≤4

解析

4x+k•2x+14x+2x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=4x+k•2x+14x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。