题文
已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）证明：∵x＞0，∴f(x)=1-1x，x≥11x-1，0＜x＜1.∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和1a-1=1-1b，即1a+1b=2．
∴2ab=a+b＞2ab．…（3分）
故ab＞1，即ab＞1．…（4分）
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-1x|的定义域、值域都是[a，b]，
则a＞0，f(x)=1-1x，x≥11x-1，0＜x＜1.
①当a，b∈（0，1）时，f(x)=1x-1在（0，1）上为减函数．
故f(a)=bf(b)=a.，即1a-1=b1b-1=a.，解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-1x在（1，+∞）上是增函数．
故f(a)=af(b)=b.，即1-1a=a1-1b=b.
此时a，b是方程x2-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故1a-1=mb1b-1=ma.．
此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵f(x)=|1-1x|在[1，+∞）上是增函数，
∴f(a)=maf(b)=mb.，即1-1a=ma1-1b=mb.
∴a，b是方程mx2-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）
设这两个根为x1，x2，则x1+x2=1m，x1•x2=1m．
∴△＞0(x1-1)+(x2-1)＞0(x1-1)(x2-1)＞0.，即1-4m＞01m-2＞0.
解得0＜m＜14．
故m的取值范围是0＜m＜14．…（14分）
解析
1-1x，x≥11x-1，0＜x＜1.考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=|1-1x|，（x＞0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
