已知函数f=x2-2ax+1设F=f(x)-6，x≥4-f(x)-2，x＜4，当a=2时，求：F＞0时x的取值范围；设f在（

题文

已知函数f（x）=x²-2ax+1
（Ⅰ）设F（x）=f(x)-6，x≥4-f(x)-2，x＜4，当a=2时，求：F（x）＞0时x的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）在（2，3）内至少有一个零点，求：a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当a=2时，F（x）=f(x)-6，x≥4-f(x)-2，x＜4=x2-4x-5，x≥4-x2+4x-3，x＜4
令F（x）＞0，可得x2-4x-5＞0x≥4或x＜4-x2+4x-3＞0
∴1＜x＜3或x＞5；
（II）①由零点存在性定理，当f（2）f（3）＜0时，f（x）在开区间（2，3）只有一个零点，∴（5-4a）（10-6a）＜0
∴54＜a＜53
②△=4a²-4=0时，a=±1，函数的零点为±1，不符合题意；
③f（2）=0，则a=54，f（x）=x²-52x+1，零点为2，12，不符合题意；
④f（3）=0，则a=53，f（x）=x²-103x+1，零点为3，13，不符合题意
⑤f（x）在（2，3）内有两个零点，则4a2-4＞02＜a＜35-4a＞010-6a＞0，∴1＜a＜54
∴1＜a＜54或54＜a＜53．

解析

f(x)-6，x≥4-f(x)-2，x＜4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2ax+1（Ⅰ）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。