已知函数f对于任意m，n∈R，都有f=f+f-1，并且当x＞0时f＞1．求证：函数f在R上为增函数；若f（3

题文

已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x＞0时f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a²+a-5）＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1
∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立
∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
再令m=x，n=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=2-f（x），
∴f（-x₁）=2-f（x₁）
而f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-2=3f（1）-2=4
∴f（1）=2．
∴f（a²+a-5）＜2，即为f（a²+a-5）＜f（1），
由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a²+a-5＜1，即a²+a-6＜0，
∴-3＜a＜2
∴不等式f（a²+a-5）＜2的解集是{a|-3＜a＜2}

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。