题文
已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）任意取x1，x2∈（0，1]且x1＜x2．f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)(1-1x1x2)=(x1-x2)x1x2-1x1x2
因为x1＜x2，所以x1-x2＜0
0＜x1x2＜1，所以x1x2-1＜0
所以f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+1x= ax2+1x≥1恒成立，
等价于当x∈（0，+∞）时ax2-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥x-1x2在x∈（0，+∞）恒成立 又 1x∈（0，+∞），
令g（x）=x-1x2=-（ 1x）2+1x=-（ 1x-12）2+14≤14
∴a≥14
故a的取值范围[14，+∞）．
解析
1x1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
