已知函数f=2x+1的反函数是f-1，g=log4用定义证明f-1在定义域上的单调性；若f-1≤g，

题文

已知函数f（x）=2^x+1的反函数是f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=2^x+1，∴x=log₂^{（f（x）-1）}，∴f^-1（x）=log₂^（x-1） （x＞1），
设 m＞n＞1，f^-1（m）-f^-1（n）=logm-1n-12，
∵m-1＞n-1＞0，∴m-1n-1＞1，
∴logm-1n-12＞0，
∴f^-1（m）-f^-1（n）＞0，f^-1（m）＞f^-1（n），
 f^-1（x）在其定义域（1，+∞）内是增函数．
（2）∵f^-1（x）≤g（x），
∴log₂^（x-1）≤log₄（3x+1），
log(x-1)24≤log₄（3x+1），
∴x-1＞0  (x-1)2≤ 3x+1 ，1＜x≤5，
∴x的取值集合D=（1，5]．

解析

logm-1n-12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1的反函数是f-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。