已知函数f=x|x2-a|，a∈R．当a≤0时，求证函数f在上是增函数；当a=3时，求函数f在区间[0，b]上的最大

题文

已知函数f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0对x∈R成立，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）当a=3时，f（x）=x|x²-3|=3x-x3，当-3＜x＜3x3-3x，当x≤-3或x≥3
（i）当x＜-3，或x＞3时，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）当-3＜x＜3时，f^′（x）=3-3x²=-3（x-1）（x+1）．
当-1＜x＜1时，f^′（x）＞0；
当-3＜x＜-1，或1＜x＜3时，f¢（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-3]，[-1，1]，[3，+∞）；
f（x）的单调递减区间是[-3，-1]，[1，3]．（8分）
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b]Ì[-1，1]，因此函数f（x）在[0，b]上是增函数，
∴当x=b时，f（x）有最大值f（b）=3b-b³．
②若1＜b≤3时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，并且该极大值就是函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．
∴当x=1时，f（x）有最大值2．
③若b＞3时，当x∈[0，3]时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，
因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，在x∈[3，b]时，f（x）=x³-3x在[3，b]上单调递增，
在x=b时，f（x）有最大值f（b）=b³-3b．
（i）当f（1）≥f（b），即2≥b³-3b，b³-b-2b-2≤0，b（b²-1）-2（b+1）≤0，（b+1）²（b-2）≤0，b≤2．
∴当3＜b≤2时，在x=1时，f（x）取到最大值f（1）=2．
（ii）当f（1）＜f（b），解得b＞2，
∴当b＞2时，f（x）在x=b时，取到最大值f（b）=b³-3b，
综上所述，函数y=f（x）在区间[0，b]上的最大值为y_max=3b-b3，0＜b≤12，1＜b≤2，b3-3b，b＞2．

解析

3x-x3，当-3＜x＜3x3-3x，当x≤-3或x≥3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。