已知函数f(x)=x2+2a3x+1，其中a＞0若曲线y=f在）处的切线与y=1平行，求a的值；求函数y=f在区间[1，2

题文

已知函数f(x)=x2+2a3x+1，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，求a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f(x)=x2+2a3x+1，
∴f′(x)=2x-2a3x2=2(x3-a3)x2，x≠0．（2分）
（1）由题意可得f'（1）=2（1-a³）=0，解得a=1，（3分）
此时f（1）=4，在点（1，f（1））处的切线为y=4，与直线y=1平行．
故所求a值为1．（4分）
（2）由f'（x）=0可得x=a，a＞0，（5分）
①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2]上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递增，（6分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2．（7分）
②当1＜a＜2时，
x（1，a）a（a，2）f'（x）-0+f（x）↓极小↑由上表可得y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1..（11分）
③当a≥2时，f'（x）＜0在[1，2）上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递减．（12分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5．（13分）
综上讨论，可知：
当0＜a≤1时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a³+2；
当1＜a＜2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a²+1；
当a≥2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a³+5..（14分）

解析

2a3x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+2a3x+1，其.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。