设f=x，请问下列哪些选项是正确的？f(12)＞0f=2有整数解 f=x2+1有实数解f=x

题文

设f（x）=x（x-1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？
（1）f(12)＞0（2）f（x）=2有整数解    （3）f（x）=x²+1有实数解   （4）f（x）=x有不等于零的有理数解
（5）若f（a）=2，则f（-a）=2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(12)=12(12-1)(12+1)=12(1-22)(12+1)＜0(∵1-2＜0)
（2）f（x）=2⇒x（x-1）（x+1）=2⇒x³-x-2=0
令g（x）=x³-x-2
若ba为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故ba可为±1，±2．
但g（1）≠0，g（-1）≠0，g（2）≠0，g（-2）≠0，故g（x）=x³-x-2=0没有整数解，即f（x）=x³-x=2没有整数解．
（3）f（x）=x²+1⇒x³-x=x²+1⇒x³-x²-x-1=0为一整系数三
次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出
现，故此方程式必有一实根．
（4）f(x)=x⇒x(x-1)(x+1)=x⇒x(x2-2)=0⇒x=0或±2，
故f（x）=x没有不等于0的有理根．
（5）f（a）=2⇒a（a-1）（a+1）=2，则f（-a）=-a（-a-1）（-a+1）=-a（a+1）（a-1）=-2
故正确的是（3）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x（x-1）（x+1），请问.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。