已知函数f1(x)=mx4x2+16，f2(x)=(12)|x-m|其中m∈R且m≠o．判断函数f1的单调性；若m＜一2，求函数f=f1

题文

已知函数f1(x)=mx4x2+16，f2(x)=(12)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判断函数f₁（x）的单调性；
（2）若m＜一2，求函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[-2，2]）的最值；
（3）设函数g(x)=f1(x)，x≥2f2(x)，x＜2当m≥2时，若对于任意的x₁∈[2，+∞），总存在唯一的x₂∈（-∞，2），使得g（x₁）=g（x₂）成立．试求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f′1(x)=m(4-x2)(2x2+8)2
则当m＞0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递增；在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减．
当m＜0时，在（-2，2）上函数f₁（x）单调递减；在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增；
（2）由m＜-2，-2≤x≤2，得x-m＞0，则f2(x)=(12)x-m=2m•(12)x，
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=mx4x2+16+2m•(12)x
由（1）知，当m＜-2，-2≤x≤2时，f₁（x）在[-2，2]上是减函数，而f2(x)=2m•(12)x在[-2，2]上也是减函数，
∴当x=-2时，f（x）取最大值4•2m-m16=2m+2-m16，当x=2时，f（x）取最小值2m-2+m16；
（3）当m≥2时，g(x1)=f1(x1)=mx14x21+16，
由（1）知，此时函数g（x₁）在[2，+∞）上是减函数，
从而g（x₁）∈（0，f₁（2）），即g(x1)∈(0，m16]
若m≥2，由于x₂＜2，
则g(x2)=f2(x2)=(12)|x2-m|=(12)|m-x2|=(12)m•2x2，
∴g（x₂）在（-∞，2）上单调递增，
从而g（x₂）∈（0，f₂（2））
即g(x2)∈(0，(12)m-2)
要使g（x₁）=g（x₂）成立，
只需m16＜(12)m-2，即m16-(12)m-2＜0成立即可
由函数h(m)=m16-(12)m-2在[2，+∞）上单调递增，
且h（4）=0，得m＜4，
所以2≤m＜4

解析

m(4-x2)(2x2+8)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f1(x)=mx4x2+16，f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。