雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m0，初速度为

题文

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m₂、m₃…m_n…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v_n′；b．求第n次碰撞后雨滴的动能12mnv′2n．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）不计重力，全过程动量守恒，
     m₀v₀=m_nv_n
     得：vn=m0mnv0
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
  a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL，V1=V02+2gL
     第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V_n′
  Vn′=m0m1v1=m0m1v02+2gL…①
  b、第2次碰撞前  v22=v′12+2gL
     利用①式化简得：v22=(m0m1)2 v02+(m02+m12m12)2gL…②
   第2次碰撞后，利用②式得：v′22=(m1m2)2v22=(m0m2)2v02+(m02+m12m2 2)2gL
   同理第三次碰撞后：v′32 =(m0m3)2v02+(m02+m12+m22m32)2gL
    以此类推…
    第n次碰撞后：v′n2=(m0mn)2v02+(n





i=0mi2mn2) 2gL 
    动能为：12 mnv′n2=12mn(m02v02+2gLi=n





i=0mi2)
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度vn=m0mnv0
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为V1=V02+2gL、Vn′=m0m1v02+2gL
b、第n次碰撞后雨滴的动能12mnv′n2=12mn(m02v02+2gLi=n





i=0mi2)

解析

m0mn

考点

据考高分专家说，试题“雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层.....”主要考查你对 [动量守恒定律 ]考点的理解。

动量守恒定律

动量守恒定律：
1、内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
2、表达式：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'。
3、动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。
4、动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性。

动量守恒定律与机械能守恒定律的比较：

系统动量守恒的判断方法:

方法一：南动量守恒的条件判断动量守恒的步骤如下：
(1)明确系统由哪几部分组成。
(2)对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
(3)看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判断系统的动量是否守恒。
方法二：南系统动量变化情况判断动量守恒方法如下：
(1)明确初始状态系统的总动量是多少。
(2)对系统内的物体进行受力分析、运动分析，确定每一个物体的动量变化情况。
(3)确定系统动量变化情况，进而判定系统的动量是否守恒。