如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A

题文

如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小为F的恒力，以后两小球发生正碰过程时间很短，不计它们碰撞过程的动能损失．



（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），求满足下列条件的L值
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）A第一次碰前速度设为v₀
动能定理：Fl=12mv20-0
A与B碰撞，动量守恒，
则mv0=mvA′+mvB′
根据题意，总能量不损失，
则12mv02=12mvA 2+12mvB 2
联立解得vA′=0，vB′=v0=2Flm
（2）①对质点A：
第一次碰前：v₀=at₀
l=12at02
第一次碰后到第二次碰前过程：
第二次碰前速度 v_A1=at₁
sA1=12at12
对质点B：
第一次碰后到第二次碰前过程：s_B1=v₀t₁
由于s_A1=s_B2
解得：t₁=2t₀，v_A1=2v₀，s_A1=s_B1=4l
则要使质点A、B刚好能够发生两次碰撞，L=l+4l=5l
②质点A、B第二次碰前速度分别为2v₀、v₀，碰后速度分别设为v″_A和v″_B
动量守恒：m•2v₀+mv₀=mv″_A+mv″_B
能量关系：12m(2v0)2+12mv20=12mv″2A+12mv″2B
解得：v″_A=v₀，v″_B=2v₀
对质点A：
第二次碰后到第三次碰前：v_A2=v₀+at₂
sA2=v0t+12at22
对质点B：
第二次碰后到第三次碰前：s_B2=2v₀t₂
由于s_A2=s_B2
解得：t₂=2t₀，v_A2=3v₀，s_A2=s_B2=8l
综上，质点A、B每次碰撞过程总是要交换速度；每次碰撞间隔时间都为2t₀；
每次碰撞后的相同时间间隔内，质点A速度增加2v₀，质点B速度不变
可得：每次碰撞位置间隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
则要使质点A、B刚好能够发生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）l=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）        
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是vA′=0，vB′=2Flm．
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞，L=5l；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞L=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B.....”主要考查你对 [动量守恒定律 ]考点的理解。

动量守恒定律

动量守恒定律：
1、内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
2、表达式：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'。
3、动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。
4、动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性。

动量守恒定律与机械能守恒定律的比较：

系统动量守恒的判断方法:

方法一：南动量守恒的条件判断动量守恒的步骤如下：
(1)明确系统由哪几部分组成。
(2)对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
(3)看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判断系统的动量是否守恒。
方法二：南系统动量变化情况判断动量守恒方法如下：
(1)明确初始状态系统的总动量是多少。
(2)对系统内的物体进行受力分析、运动分析，确定每一个物体的动量变化情况。
(3)确定系统动量变化情况，进而判定系统的动量是否守恒。