题文
一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇 上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值）．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg．
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg 2=0.301，lg 3=0.477）
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设雪橇运动的方向为正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相对地面的速度为V1，则此时狗相对于地面的速度为（V+μ），
由于雪橇和地面之间的摩擦忽略不计，故狗和雪橇组成的系统水平向动量守恒，
根据动量守恒定律，有MV1+m（V1+u）=0…①
设狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为V1’
由于此时狗和雪橇组成的系统水平向动量仍然守恒，则有 MV1+mv=（M+m）V1’…②
联立①②两式可得 V′1=-Mmu+(M+m)mv(M+m)2…③
将u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V1’=2 m/s
（2）解法（一）
设雪橇运动的方向为正方向．狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度为vn-1，则狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度Vn-1’，
满足M Vn-1+mv=（M+m） Vn-1’…④
这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足
M Vn+m（Vn+u）=（M+m） Vn-1’…⑤
解得 Vn=(v-u)[1-(MM+m)n-1]-muM+m(MM+m)n-1
狗追不上雪橇的条件是 vn≥v
可化为 (MM+m)n-1≤(M+m)uMu-(M+m)v
最后可求得 n≥1+lg(Mu-(M+m)v(M+m)u)lg(M+mM)
代入数据，得n≥3.41
故狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为 v4=5.625 m/s
解法（二）：
设雪橇运动的方向为正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi′狗的速度为Vi+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为Vi′，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0…④
V1=-muM+m=1m/s
第一次跳上雪橇：MV1+mv=（M+m）V1’…⑤
V′1=-Mmu+(M+m)mv(M+m)2
第二次跳下雪橇：（M+m）V1’=MV2+m（V2+u）…⑥
V2=(M+m)V′1-muM+m=3m/s
第二次跳上雪橇：MV2+mv=（M+m）V2’…⑦
V′2=MV2+mvM+m
第三次跳下雪橇：（M+m）V2’=MV3+m（V3+u）…⑧
V3=(M+m)V′2-muM+m=4.5m/s
第三次跳上雪橇：（M+m）V3=MV3’+m（V3’+u）…⑨
V′3=(M+m)V3-muM+m
第四次跳下雪橇：（M+m）V3’=MV4+m（V4+u）…⑩
V4=(M+m)V′3-muM+m=5.625m/s
此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇．
因此，狗最多能跳上雪橇3次．雪橇最终的速度大小为5.625m/s．
解析
V′1
考点
据考高分专家说，试题“一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条.....”主要考查你对 [动量守恒定律 ]考点的理解。
动量守恒定律
动量守恒定律：
1、内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
2、表达式：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'。
3、动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。
4、动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性。
动量守恒定律与机械能守恒定律的比较：
系统动量守恒的判断方法:
方法一：南动量守恒的条件判断动量守恒的步骤如下：
(1)明确系统由哪几部分组成。
(2)对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
(3)看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判断系统的动量是否守恒。
方法二：南系统动量变化情况判断动量守恒方法如下：
(1)明确初始状态系统的总动量是多少。
(2)对系统内的物体进行受力分析、运动分析，确定每一个物体的动量变化情况。
(3)确定系统动量变化情况，进而判定系统的动量是否守恒。
