已知函数f=2x-ax2+2．当f=1时，求函数f的单调区间；设关于x的方程f=1x的两个实根为x1，x2，且-1

题文

已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈R）．
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设关于x的方程f（x）=1x的两个实根为x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=2(x2+2)-2x(x+1)(x2+2)2=-2(x2+x-2)(x2+2)2=-2(x+2)(x-1)(x2+2)2≥0
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=1x可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0
∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=(x1+x2) 2-4x1x2=a2+8
∵-1≤a≤1，∴当a=±1时，
∴|x₁-x₂|_max=a1+8=3
（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
由（2）可得m²+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]，
设g（t）=m²+tm-2
若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，
则g(-1)=-m+m2-2≥0g(1)=m+m2-2≥0
解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2

解析

2(x2+2)-2x(x+1)(x2+2)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x-ax2+2（x∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。