设函数f(x)=x2+1-ax，其中a＞0，解不等式f≤1；证明：当a≥1时，函数f在区间[0，+∞]上是单调函数．

题文

设函数f(x)=x2+1-ax，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）不等式f（x）≤1即x2+1≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．
所以，原不等式等价于x2+1≤(1+ax)2x≥0.
即x≥0(a2-1)x+2a≥0（3分）
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤2a1-a2}；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．（6分）
（2）证明：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂
使得x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=x21+1-x22+1-a(x1-x2)
=x21-x22x21+1+x22+1-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2x21+1+x22+1-a)．(9分)
∵x1+x2x21+1+x22+1＜1，且a≥1，
∴x1+x2x21+1+x22+1-a＜0，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．（12分）

解析

x2+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x2+1-ax，其中a＞.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。