已知f=loga1+xx-1．判断f在上的单调性，并加以证明；当x∈时，f的值域为（1

题文

已知f（x）=log_a1+xx-1（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a与r的值；
（3）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）任取1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=log_ax2+1x2-1-log_ax1+1x1-1
=log_a(x2+1)(x1-1)(x2-1)(x1+1)
=log_ax1x2+x1-x2-1x1x2-x1+x2-1．
又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．
∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．
∴0＜x1x2+x1-x2-1x1x2-x1+x2-1＜1．
当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）由x+1x-1＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
∵x+1x-1=1+2x-1≠1，∴f（x）≠0．
当a＞1时，
∵x＞1⇒f（x）＞0，x＜-1⇒f（x）＜0，
∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．
又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．
∴f（x）＞1⇔1＜x＜f^-1（1）=a+1a-1．
∴r=1a-2=a+1a-1.∴r=1a=2±3(负号不符合).
当0＜a＜1时，
∵x＞1⇒f（x）＜0，x＜-1⇔f（x）＞0，
∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．
又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，
∴f（x）＞1⇒-1＞x＞f^-1（1）=a+1a-1．
∴r=a+1a-1a-2=-1无解．
综上，得a=2+3，r=1．
（3）由f（x）≥log_a2x得
当a＞1时，x＞1x+1＞2x(x-1)⇒3-17 ＜x＜3+174且x＞1．
∴1＜x＜3+174．
当0＜a＜1时，x＞1x+1＜2x(x-1)
∴x＞3+174．

解析

x2+1x2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=loga1+xx-1（a＞.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。