若实数a≠0，函数f=-2ax3-ax2+12ax+1，g=2ax2+3．令h=f-g，求函数h的极值；若在区间

题文

若实数a≠0，函数f（x）=-2ax³-ax²+12ax+1，g（x）=2ax²+3．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax³-3ax²+12ax-2
∴h'（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）
令h'（x）=0，∴x=-2或x=1
若a＞0，当x＞-2时，h'（x）＞0；当x＜-2时，h'（x）＜0
∴x=-2是函数h（x）的极小值点，极小值为h（-2）=-20a-2；
当x＞1时，h'（x）＜0；当x＜1时，h'（x）＞0
∴x=1是函数h（x）的极大值点，极大值为h（1）=7a-2
若a＜0，易知，x=-2是函数h（x）的极大值点，极大值为h（-2）=-20a-2；x=1是函数h（x）的极小值点，
极小值为h（1）=7a-2
（2）若在（0，+∞）上至少存在一点x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
则f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解
由（1）知，当a＜0时，函数h（x）在区间（0，+∞）上递增，且极小值为h（1）=7a-2＜0
∴此时h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；
当a＞0时，函数h（x）在区间（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴要满足条件应有函数h（x）的极大值h（1）=7a-2＞0，即a＞27
综上，实数a的取值范围为a＜0或a＞27．

解析

27

考点

据考高分专家说，试题“若实数a≠0，函数f（x）=-2ax3-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。