已知多项式f(n)=15n5+12n4+13n3-130n．求f及f的值；试探求对一切整数n，f是否一定是整数？并证明你的结论．

题文

已知多项式f(n)=15n5+12n4+13n3-130n．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f（-1）=-15+12-13+130=0
f(2)=15×25+12×24+13×23-130×2 =17
（Ⅱ）（1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．
①当n=1时，f（1）=1，结论成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即f(k)=15k5+12k4+13k3-130k是整数，则当n=k+1时，f(k+1)=15(k+1)5+12(k+1)4+13(k+1)3-130(k+1)=C05k5+C15k4+C25k3+C35k2+C45k+C555+C04k4+C14k3+C24k2+C14k+C442+C03k3+C13k2+C23k+C333-130(k+1)
=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1
根据假设f（k）是整数，而k⁴+4k³+6k²+4k+1显然是整数．
∴f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．
由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）
（2）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）
（3）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，
所以f(n)=f(-m)=15(-m)5+12(-m)4+13(-m)3-130(-m)=-15m5+12m4-13m3+130m=-f（m）+m⁴是整数．
综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）

解析

15

考点

据考高分专家说，试题“已知多项式f(n)=15n5+12n4+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。