题文
已知函数f（x）=a(1-2|x-12|)，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=12对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：∵f(12+x)=a(1-2|12+x-12|)=a（1-2|x|），f(12-x)=a(1-2|12-x-12|)=a（1-2|x|），∴f(12+x)=f(12-x)，∴f（x）的图象关于直线x=12对称．
（2）当0＜a＜12时，有f（f（x））=4a2x，x≤124a2(1-x)，x＞12．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a=12时，有f（f（x））=x，x≤121-x，x＞12．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤12}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当a＞12时，有f（f（x））=4a2x，x≤14a2a-4a2x，14a＜x≤122a(1-2a)+4a2x，12＜x≤4a-14a4a2-4a2x，x＞4a-14a，
∴f（f（x））=x有四个0，2a1+4a2，2a1+2a，4a21+4a2．
由f（0）=0，f(2a1+2a)=2a1+2a，f(2a1+4a2)≠2a1+4a2，f(4a21+4a2)≠4a21+4a2．
故只有2a1+4a2，4a21+4a2是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞12．
（3）由（2）得x1=2a1+4a2，x2=4a21+4a2．
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3=14a，或x3=4a-14a．
当x3=14a时，S（a）=2a-14(1+4a2)．求导得：S′（a）=-2(a-1+22)(a-1-22)(1+4a2)2．
∴当a∈(12，1+22)时，S（a）单调递增，当a∈(1+22，+∞)时，S（a）单调递减．
当x3=4a-14a时，S（a）=8a2-6a+14(1+4a2)，求导得S′(a)=12a2+4a-32(1+4a2)2．
∵a＞12，从而有S′(a)=12a2+4a-32(1+4a2)2．
∴当a∈(12，+∞)时，S（a）单调递增．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a(1-2|x-12|.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
