已知函数f=1-x1+x2ex．求f的单调区间；证明：当f=f时，x1+x2＜0．

题文

已知函数f（x）=1-x1+x2ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，x₁+x₂＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）易知函数的定义域为R．
f′(x)=(1-x1+x2)′ex+1-x1+x2ex=x2-2x-1(1+x2)2ex+1-x1+x2ex=-x[(x-1)2+2](1+x2)2ex，
当x＜0时，f^′（x）＞0；当x＞0时，f^′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（II）当x＜1时，由于1-x1+x2＜0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．
由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证1-x1+x2ex＜1+x1+x2e-x．此不等式等价于(1-x)ex-1+xex＜0．
令g（x）=(1-x)ex-1+xex，则g^′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g^′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1-x)ex-1+xex＜0．
∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
从而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

解析

1-x1+x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1-x1+x2ex．（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。