题文
设函数f(x)=ax-x2-1，（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）a=2时，f（x）≥f（1）可化为：2(x-1)≤x2-1，等价于：x-1≥04(x-1)2≤x2-1①或 x-1＜0x2-1≥0②解①得 1≤x≤53，解②得 x≤-1．
所以，原不等式的解集为 {x|1≤x≤53或x≤-1}．
（2）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(ax1-x12-1)-(ax2-x22-1) =a(x1-x2)-(x12-1-x22-1) =a(x1-x2)-x12-x22x12-1+x22-1 =(x1-x2)(a-x1+x2x12-1+x22-1)
要使函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数，需且只需：a＞x1+x2x12-1+x22-1恒成立，（或a＜x1+x2x12-1+x22-1恒成立）．
因此，只要求出x1+x2x12-1+x22-1在条件“x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2”之下的最大、最小值即可．
为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x1=1，x2→1，
容易知道，此时x1+x2x12-1+x22-1→+∞；
若考虑x1＜x2→+∞，则不难看出，此时x1+x2x12-1+x22-1→1，至此我们可以看出：要使得函数f（x）为单调函数，只需a≤1．
事实上，当a≤1时，由于x1+x2＞x12-1+x22-1＞0恒成立，
所以，x1+x2x12-1+x22-1＞1．所以，在条件“x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2”之下，必有：f（x1）-f（x2）＞0．
所以，f（x）在区间[1，+∞）上单调递减．
当a＞1时，由（1）可以看出：特例a=2的情况下，存在f(1)=f(53)．
由此可以猜想：函数f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
为了说明这一点，只需找到x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）=f（x2）即可．
简便起见，不妨取x1=1，此时，可求得x2=a2+1a2-1＞1，也即：f(1)=f(a2+1a2-1)=a，所以，f（x）在区间[1，+∞）上不是单调函数．
另f′(x)=a-xx2-1，对x∈[1，+∞），易知：
当x→1时，xx2-1→+∞；当x→+∞时，xx2-1→1；
所以当x∈[1，+∞）时，xx2-1＞1，
从而只须a≤1，必有f'（x）＜0，函数在x∈[1，+∞）上单调递减．
解析
x2-1考点
据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax-x2-1，（1）当.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
