题文
已知f(x)=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.(1)求实数a的值所组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=1x的两个根为x1、x2,若对任意x∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求m的取值范围. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)∵f′(x)=4+2ax-2x2(x2+2)2=-2(x2-ax-2)(x2+2)2,∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.
设φ(x)=x2-ax-2,则问题等价于φ(1)=1-a-2≤0φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1,
∴A=[-1,1].
(2)由2x-ax2+2=1x,得x2-ax-2=0,△=a2+8>0,
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,
∴x1+x2=a,x1x2=-2,从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2 =a2+8,
∵-1≤a≤1,
∴|x1-x2|=a2+8≤3.
∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立
⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立
⇔m2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1,1]恒成立.
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),则问题又等价于g(-1)=m2-m-2≥0g(1)=m2+m-2≥0⇔m≤-2,
∴m≥2,即m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
解析
4+2ax-2x2(x2+2)2考点
据考高分专家说,试题“已知f(x)=2x-ax2+2(x∈R).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。