已知直线l：mx-2y+2m=0和椭圆C：x2a2+y2b2=1，椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．

题文

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f（m），求f（m）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由离心率e=22，得b=c=22a
又因为2ab=22，所以a=2，b=1，即椭圆标准方程为x22+y2=1．（4分）
（II）由l：mx-2y+2m=0经过定点Q（-2，0），则直线l′：y=k（x+2），
由 y=k(x+2)x22+y2=1有（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0．
所以△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，可化为 2k²-1＜0
解得-22＜k＜22． （8分）
（Ⅲ） 由l：mx-2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．
设M（x，y）满足x22+y2=1，
则|PM|²=x²+（y-m）²=2-2y²+（y-m ）²=-y²-2my+m²+2=-（y+m）²+2m²+2，
因为-1≤y≤1，所以
当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；
当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=2m2+2；
所以f（m）=1+|m|m＞12m2+2|m|≤1．（12分）

解析

22

考点

据考高分专家说，试题“已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。