定义在R上的f，满足f=f+2[f]2，m，n∈R，且f≠0，则f的值为______．

题文

定义在R上的f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立且f（1）≠0，
令m=n=0可得，f（0）=f（0）+2f²（0），则f（0）=0
令m=0，n=1可得f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠0
∴f(1)=12
∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立
令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，即f（m+1）-f（m）=2[f（1）]²=12
由f（m+1）-f（m）=12可得f（m）是以f（1）=12为首项，以12为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，f（m）=12+12(n-1)=n2
∴f（2012）=1006
故答案为：1006

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的f（x），满足f（m+n2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。