函数f(x)=x+2ax判断并证明函数的奇偶性；若a=2，证明函数f在上单调递增；在满足的条件下，解不等式f（t2+2

题文

函数f(x)=x+2ax
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）若a=2，证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式f（t²+2）+f（-2t²+4t-5）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）该函数为奇函数．
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且f（-x）=-x+a-x=-(x+ax)=-f(x)，
故函数f（x）为奇函数．
（II）当a=2时，f（x）=x+4x．
∀2＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2．
∵2＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0．
∴(x1-x2)(x1x2-4)x1x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（III）∵f（x）为奇函数，∴f（t²+2）＜-f（-2t²+4t-5）=f（2（t-1）²+3），
∵t²+2≥2，2（t-1）²+3＞2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴t²+2＜2t²-4+5，
化为t²-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．

解析

a-x

考点

据考高分专家说，试题“函数f(x)=x+2ax（Ⅰ）判断并证明.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。