已知函数f=-13x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．求函数f的极大值；若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′≤a成立（

题文

已知函数f（x）=-13x3+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤13时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，[f′（x）]_min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a∴a∈Ra≥13∴a≥13．
此时，a=13．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即13＜a＜1，[f′（x）]_max=f′（2a）=a²．
∵-a≤f′（x）≤a，∴f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a即2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a
∴a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.∴13≤a≤7+1716．
此时，13＜a≤7+1716．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[13，7+1716]．（14分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-13x3+2ax2-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。