已知函数f=log4-x为偶函数．求常数k的值；当x取何值时函数f的值最小？并求出f的最小值；（3

题文

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设g(x)=log4(a•2x-43a)（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为偶函数，
故log₄（4^-x+1）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-（k-1）x对所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，
∴k=32．（4分）
（2）由（1）得f(x)=log4(4x+1)-x2，即f(x)=log44x+12x．（2分）
log4(2x+12x)≥log42=12，
故当且仅当x=0时，（3分）
f（x）的最小值是12．（5分）
（3）由方程log4(4x+1)-x2=log4(a•2x-43a)（*）
可变形为4x+12x=a•2x-43a①a•2x-43a＞0②，由②得a＞02x＞43或a＜02x＜43，
令2^x=t，则a＞0t＞43，或a＜00＜t＜43
由①得(a-1)(2x)2-43a•2x-1=0，设h(t)=(a-1)t2-43at-1（2分）
∴当a＞0时，(a-1)h(43)＜0⇒a＞1，（4分）
当a＜0时，h（0）=-1＜0，
∴h(43)＞0⇒a不存在，
当△=(-43a)2+4(a-1)=0时，a=34或a=-3，
若a=34，则t=-2，不合题意，舍去，若a=-3，则t=12，满足题意，（5分）
∴当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点．（7分）

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log4（4x+1）-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。