题文
已知f（x）=(1+2x-1)-2(x＞1)．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）的解析式及其定义域；
（2）判断函数f-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明；
（3）若当x∈(116，14]时，不等式(1-x)．f-1(x)＞a(a-x)恒成立，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令y=x，则有x=(1+2y-1)-2解得：f-1(x)=1+x1-x(x∈(0，1))；（4分）
（2）设0＜x1＜x2＜1，则f-1(x1)-f-1(x2)=1+x11-x1-1+x21-x2=2(x1-x2)(1-x1)(1-x2)
=2(x1-x2)(x1+x2)(1-x1)(1-x2)(x1+x2)=2(x1-x2)(1-x1)(1-x2)(x1+x2)
由0＜x1＜x2＜1，有所以f-1（x1）-f-1（x2）＜0，即函数f-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
（3）当x∈(116，14]时，不等式(1-x)．f-1(x)＞a(a-x)恒成立，
即不等式x(1+a)＞a2-1恒成立
当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于a＜x+1恒成立，由x∈(116，14]
所以a≤54，从而得-1＜a≤54
当1+a=0即a=-1时，不等式x(1+a)＞a2-1不成立
当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于a＞x+1恒成立，
由x∈(116，14]所以a＞32，又a＜-1，所以a不存在．综上可得：-1＜a≤54．（12分）
解析
2y-1考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=(1+2x-1)-2(x＞.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
