已知函数f(x)=x-cx+1，其中c为常数，且函数f图象过原点．求c的值；证明函数f在[0，2]上是单调递增函数；已知函数g(x

题文

已知函数f(x)=x-cx+1，其中c为常数，且函数f（x）图象过原点．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；
（3）已知函数g(x)=f(ex)-13，求函数g（x）的零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）图象过原点，∴f（0）=0，解得 c=0，故函数f（x）=xx+1．
（2）证明：设0≤x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=x1x1+1-x2x2+1=x1(x2+1)-x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)=-x2-x1(x1+1)(x2+1)．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-x2-x1(x1+1)(x2+1)＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数．
（3）令g(x)=f(ex)-13=exex+1-13=0，
∴ex=12，即x=ln12=-ln2，
即函数g（x）的零点为 x=-ln2．

解析

xx+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x-cx+1，其中c为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。