已知函数f=x，x∈[-1，1]，函数g=f2-2af+3的最小值为h．求h的解析式；是否存在实数m，n

题文

已知函数f（x）=（13）^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x)=(13)x，x∈[-1，1]，
知f(x)∈[13，3]，
令f(x)∈[13，3]
记g（x）=y=t²-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当a≤13时，g（x）的最小值h（a）=289-2a3
②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③当13＜a＜3时，g（x）的最小值h（a）=3-a²
综上所述，h(a)=289-2a3a≤133-a213＜a＜312-6aa≥3
（2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．
由题意，则h(m)=n2h(n)=m2⇒-6m+12=n2-6n+12=m2，
两式相减得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，
故不存在满足题中条件的m，n的值．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。