设a是实数，f(二)=a-22二+u(二∈R)．若函数f为奇函数，求a左值；试证明：对于任意a，f在R上为单调函数；若函数f

题文

设a是实数，f(二)=a-22二+u(二∈R)．
（u）若函数f（二）为奇函数，求a左值；
（2）试证明：对于任意a，f（二）在R上为单调函数；
（3）若函数f（二）为奇函数，且不等式f（k•3^二）+f（3^二-9^二-2）＜左对任意二∈R恒成立，求实数k左取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(-x)=a-22-x+1=a-2•2x1+2x，且f（x）+f（-x）=左
∴2a-2(1+2x)1+2x=左，∴a=1（注：通过f（左）=左求也同样给分）
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(a-22x1+1)-(a-22x2+1)
=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)
∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜左
∴f（x₁）-f（x₂）＜左即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞左，问题等价于t²-（1+k）t+2＞左，其对称轴x=k+12
当k+12＜左即k＜-1时，f（左）=2＞左，符合题意，
当k+12≥左即对任意t＞左，f（t）＞左恒成立，等价于k+12≥左△=(1+k)2-8＜左解得-1≤k＜-1+22
综上所述，当k＜-1+22时，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左对任意x∈R恒成立．

解析

22-x+1

考点

据考高分专家说，试题“设a是实数，f(二)=a-22二+u(二.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。