题文
已知函数f(x)=a-22x+1 (a∈R)（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为f（x）奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t2+2）+f（t2-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）为R上的增函数．证明如下：…（1分）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(a-22x1+1)-(a-22x2+1)=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2)(2x2+1)(2x1+1)．…（3分）
因为y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，所以2x1-2x2＜0，所以f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的增函数．…（4分）
（2）∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．…（6分）
当a=1时，f(x)=1-22x+1=2x-12x+1．
∴f（-x）=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f（x），…（8分）
此时，f（x）为奇函数，满足题意，所以，a=1．…（8分）
（3）因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t2+2）+f（t2-tk）＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f（t2+2）＞f（tk-t2）对任意的t∈R恒成立．…（9分）．
又因为在（-∞，+∞）上为增函数，所以等价于不等式t2+2＞tk-t2对任意的t∈R恒成立，即不等式2t2-kt+2＞0对任意的t∈R恒成立．…（10分）
所以必须有△=k2-16＜0，即-4＜k＜4，所以实数k的取值范围{k|-4＜k＜4}．…（12分）
解析
22x1+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a-22x+1(a∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
