已知函数f=2x2-x+15，g=k2x-k，其中k∈R．设p=f+g，若p在上有零点，求实

题文

已知函数f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数q(x)=g(x)x≥0f(x)x＜0是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点．
∴△=（k²+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零点，则 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或△＞0P(1)=0P(4)＞0 ②，或 △＞0P(1)＞0P(4)=0 ③，或P(1)＞0P(4)＞0△=0 ④．
解①得 8＜k＜435，解②得k=8，解③得k∈∅，解④可得 k=7．
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有 △＞0P(1)＞0P(4)＞01＜k+14＜4，解得 7＜k＜8．
综上可得，实数k的取值范围为[7，435）．
（2）函数q(x)=g(x)x≥0f(x)x＜0，即 q(x)=k 2x -k  ，  x ≥0 2x 2 -(k 2-k+1)x+15 ，  x＜0．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A⊊B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B⊊A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-15满足条件．

解析

△＞0P(1)=0P(4)＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。