已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f=2，f＜3，求a，b，c

题文

已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴ax2+d+1-bx+c=-ax2+d+1bx+c
解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax³+cx²-bx+d=-ax³-cx²-bx-d
∴d=0…（2分）
∴f(x)=ax2+1bx，g（x）=ax³+bx
由f（1）=a+1b=2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得f(x)=(2b-1)x2+1bx，
∵f（2）=8b-32b＜3，即4-32b＜3，
∴32b＞1，所以b＞0，由此可解得：0＜b＜32…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x³+x，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，…（1分）
g(x2)-g(x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)+(x2-x1)=(x2-x1)[(x22+x2x1+14x12)+34x12+1]=(x2-x1)[(x2+12x1)2+34x12+1]
∵x₂-x₁＞0，(x2+12x1)2+34x12+1＞0，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）

解析

ax2+d+1bx+c

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。