设关于x的函数f=4x-2x+1-b，若函数有零点，求实数b的取值范围；当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点．

题文

设关于x的函数f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函数有零点，求实数b的取值范围；
（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）原函数零点即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．
化简方程为b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故当b的范围为[-1，+∞）时函数存在零点．
（2）①当b=-1 时，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②当 0＞b＞-1 时，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+1+b，或2^x=1-1+b，
解得 x=log2(1+1+b)，或x=log2(1-1+b)，故此时方程有2个解．…（9分）
③当b≥0时，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+1+b，或2^x=1-1+b （舍去），
解得 x=log2(1+1+b)，故此时方程有唯一解．
④当b＜-1时，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 无解，原方程无解．
综上可得，1）当-1＜b＜0时原方程有两x=log2(1+1+b)，或x=log2(1-1+b)；
2）当 b≥0 时，方程有唯一解 x=log2(1+1+b)，当b=-1 时，原方程有唯一解 x=0；
3）当b＜-1 时，原方程无解．

解析

1+b

考点

据考高分专家说，试题“设关于x的函数f（x）=4x-2x+1-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。