题文
函数f(x)=lnx-a(x-1)x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式1lnx-1x-1＜12对于x∈（1，2）恒成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=1x-ax2，若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
（3）要证1lnx-1x-1＜12，即证1lnx＜1x-1+12，即证lnx＞2x-2x+1
设g(x)=lnx-2x-2x+1，∴g′(x)=1x-4(x+1)2＞0，x∈(1，2)恒成立
∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即1lnx-1x-1＜12
解析
1x考点
据考高分专家说，试题“函数f(x)=lnx-a(x-1)x(x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
