已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在上的奇函数，且f(12)=25．求函数f的解析式；用单调性的定义证明f在（-1，1

题文

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(12)=25，∴12a1+14=25，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：f(x)=x1+x2．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f(x1)-f(x2)=x11+x21-x21+x22=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22)
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即为f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t²-1）＜f（-t）即为t²-1＜-t，解之得：-1+52＜t＜-1+52…①
又∵-1＜t2-1＜1-1＜t＜1，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：(-1，0)∪(0，-1+52)．
所以，原不等式的解集为(-1，0)∪(0，-1+52)．

解析

ax+b1+x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。