题文
已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2x+a是奇函数(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性并用定义证明. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=b-1a+1=0,解得b=1;
则f(x)=1-2xa+2x,
因为f(-x)=1-2-xa+2-x=2x-1a•2x+1=-f(x)=2x-1a+2x,
所以a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对任意实数x都成立,
所以a=1,故a=b=1.
(2)f(x)=1-2x1+2x=21+2x-1,f(x)在R上是减函数,
证明:任取x1,x2且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=21+2x1-21+2x2=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2),
因为x1<x2,所以2x2-2x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在R上是减函数.
解析
b-1a+1考点
据考高分专家说,试题“已知定义在R上的函数f(x)=b-2x2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。