已知函数f的定义域为[0，1]，且同时满足①f=3；②f≥2恒成立，③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f≥f+

题文

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）试求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）试比较f（12n）与12n+2（n∈N）的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设0≤x₁＜x₂≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x₂=x₁+t，
由条件③得，f（x₂）=f（x₁+t）≥f（x₁）+f（t）-2，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（t）-2，
由条件②得，f（x₂）-f（x₁）≥0，
故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
又在条件③中，令x₁=0，x₂=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
即f（0）≤2，∴f（0）=2，
故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．
（2）在条件③中，令x1=x2=12n，得f(12n-1)≥2f(12n)-2，
即f(12n)-2≤12[f(12n-1)-2]，
故当n∈N*时，有f(12n)-2≤12[f(12n-1)-2]≤122[f(12n-2)-2]≤…≤12n[f(120)-2]=12n，
即f(12n)≤12n+2．
又f(120)=f(1)=3≤120+2，
所以对一切n∈N，都有f(12n)≤12n+2．

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。