已知函数f=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1判断f单调性并证明；若m满足f＞f，试确定m的取值范围．若

题文

已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+32＞0恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题得f（x）=x+ax+a，设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1-x2+ax1-ax2=(x1-x2)(x1x2-a)x1x2…（2分）
因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0…（4分）
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+32＞0得：x2+a(x+1)+2x+32＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-12 ①
因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为a＞-(x+1)-12(x+1)…（9分）
所以题目等价于化为a＞-(x+1)-12(x+1)在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数y=-(x+1)-12(x+1)在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=(x+1)+12(x+1)在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，则t∈[3，6]，所以y=t+12t，由（1）得y=t+12t，
在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为196．所以-196＜a＜1．…（12分）

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+ax+a，x∈[1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。