已知f是定义在[-1，1]上的奇函数，且f=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．判断f在[-1

题文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+12）＜f（1x-1）；
（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m²-2am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(x1)+f(-x2)x1-x2•（x₁-x₂），
由已知得f(x1)+f(-x2)x1-x2＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴x+12＜1x-1-1≤x+12≤1-1≤1x-1≤1，解得-32≤x＜-1，
∴不等式的解集为{x|-32≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m²-2am+3≥3，
∴m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m•a+m²≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．

解析

f(x1)+f(-x2)x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。