已知函数f对于一切x、y∈R，都有f=f+f．求证：f在R上是偶函数；若f在区间上是减函数

题文

已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．
（Ⅰ）求证：f（x）在R上是偶函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，且有f（2a²+a+1）＜f（-2a²+4a-3），求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y），
令x=0，得f（0）=f（y）+f（-y），…（1分）
再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分）
令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（3分）
①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分）
∴f（-x）=f（x）．…（5分）
故f（x）在R上是偶函数．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）的图象关于y轴对称．…（7分）
又因为f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分）
∵2a2+a+1=2(a2+12a+116-116)+1=2(a+14)2+78＞0，
-2a²+4a-3=-2（a²-2a+1-1）-3=-2（a-1）²-1＜0，
∴2a²-4a+3＞0．…（9分）
∵f（-2a²+4a-3）=f（2a²-4a+3）．
原不等式可化为f（2a²+a+1）＜f（2a²-4a+3）…（10分）
∴2a²+a+1＜2a²-4a+3．解之得a＜25．…（11分）
故实数a的取值范围是a＜25．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。